선형결합, 생성, 기저 (Linear Combination, Span, Basis)

 

기저 벡터란 그 벡터 공간을 '생성(Span)'하는 '선형 독립'인 벡터의 집합이다.

 

위 설명을 이해하는 것이 이번 글의 핵심이다.

 

 

---

선형 결합

'선형 결합(Linear Combination)'이란 주어진 벡터를 스케일하고 더하여 새로운 벡터를 얻는 모든 과정을 뜻한다.

 

 

생성 (Span)

'생성(Span)'이란 주어진 벡터의 선형 결합으로 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합이다.

대부분의 2차원 기저 벡터의 생성(Span)은 무한한 2차원 평면 전체이다. (3차원의 경우 무한한 3차원 공간 전체)

하지만 다음과 같은 경우 예외가 존재한다.

 

 

---

벡터 공간의 성질

벡터간의 선형적 관계는 벡터 공간을 다룰 때 중요하게 사용된다.

'선형 독립' 관계를 가지는 벡터를 선형 겹합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있기 때문이다.

 

선형 종속

'선형 종속'의 기하학적 해석은 다음과 같다.

벡터 중 하나가 다른 벡터들의 선형 겹합으로 표현되는 경우 '선형 종속 관계를 가진다.' 라고 표현 한다.

3차원 벡터 이지만 그림안에 모든 벡터를 2차원 평면에 표현할 수 있다.

 

'선형 종속'의 수식적 해석은 다음과 같다.

모든 스칼라가 0 이어야 영벡터를 만들 수 있다.

 

선형 독립

'선형 독립'의 기하학적 해석은 다음과 같다.

모든 벡터가 각자 생성에 다른 차원을 구성하는 경우 '선형 독립 관계를 가진다.' 라고 표현한다.

선형 독립인 세 벡터

 

'선형 독립'의 수식적 해석은 다음과 같다.

모든 스칼라가 0 이 아니어도 영벡터를 만들 수 있다.

 

 

---

기저 벡터 (Basis Vector)

xy좌표계에는 2개의 특수한 벡터가 있다.

1. 양의 x축을 가리키는 크기가 1인 벡터 (i-hat 또는 x의 단위 벡터)

2. 양의 y축을 가리키는 크기가 1인 벡터 (j-hat 또는 y의 단위 벡터)

표준 기저 벡터

 

'기저 벡터(Basis Vector)'란 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합으로

N차원 공간에서 임의의 벡터를 표한할 수 있는 기준이 되는 벡터이다.

 

기저 벡터를 다른것으로 선택하는 것이 가능하며, 앞서 설명한 2개의 특수한 벡터를 '표준 기저 벡터'라고 한다.

기저 벡터에 따라 좌표계가 달라지며 선택한 기저 벡터에 따라 벡터의 표현이 달라진다.

기저 벡터의 예시