삼각함수와 물체의 회전

삼각비

'삼각비'란 직각삼각형을 구성하는 세 변에서 두 변을 뽑아 각각의 비례관계를 나타낸 것이다.

삼각비에는 여러 종류가 있지만 사인(Sine), 코사인(Cosine), 탄젠트(Tangent) 세가지가 대표적이다.

 

삼각비의 활용

삼각비를 활용하여 직각삼각형에서 하나의  θ(사잇각)과 하나의 변의 길이가 주어진 경우

나머지 변의 길이들을 구할 수 있다.

 

 

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삼각함수

'삼각함수'란 직각 삼각형을 데카르트 좌표계 상에 배치하고 θ(사잇각)의 범위를 실수 전체로 확장한 대응 관계이다.

 

 

삼각함수의 기본 연산

θ(사잇각)이 주어지고 빗변 c의 길이가 '1'로 주어진 경우 점 A의 좌표를 구하는 예를 보면 아래와 같다.

 

이때 밑변 a의 x좌표는 cosθ가 되고 높이 b의 y좌표는 sinθ가 된다.

이를 피타고라스 정리 a² + b² = c²에 대입하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

#이 식은 삼각함수의 기본을 이루는 중요한 공식으로, 이후 회전과 관련된 계산에 유용하게 사용된다.

cos²θ + sin²θ = 1

 

 

삼각함수의 그래프

1. sin 함수

 

2. cos 함수

 

3. tan 함수

 

짝함수 홀함수

cos 함수와 같이 좌우 대칭의 성질을 지닌 함수를 '짝함수(Even function)' 또는 '우함수'라고 부르며,

sin 함수와 같이 원점 대칭의 성질을 가진 함수를 '홀함수(Odd function)' 또는 '기함수'라고 부른다.

 

sin 함수와 cos 함수 그래프가 지니는 홀함수와 짝함수의 설질은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

#이후 회전과 관련된 계산에 유용하게 사용된다.

cos( - θ ) = cos( θ )

sin( - θ ) = -sin( θ )

 

 

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호도법

일상 생활에서 각(Angle)의 크기를 잴 때 0에서 360까지의 수를 사용하는 '각도법(Degree)'을 사용한다.

하지만 계산을 할 때는 360이라는 값은 표준으로 사용하기에는 너무 큰 숫자이다.

때문에 호의 길이를 기준으로 각을 측정하는 '호도법(Radian)'을 사용한다.

 

호도법과 각도법 표기 비교

각도법	호도법
30º	π / 6
45º	π / 4
60º	π / 3
90º	π / 2
180º	π
360º	2 π

 

 

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삼각함수를 활용한 물체 회전

물체를 이동시키고 크기를 늘리는 동작은 x 축과 y 축이 서로 독립적으로 적용된다.

하지만 회전이라는 동작은 x 와 y 값이 함계 영향을 미치기 때문에 x 축과 y 축을 분리해 독립적으로 계산할 수 없다.

표준기저 i-hat 과 j-hat 이 각각 θ 만큼 회전한 i'-hat 과 j'-hat 을 보면 다음과 같다.

좌표 ( 1, 1) 을 기저벡터로 표현하면    v = 1 · i-hat + 1 · j-hat   이다.

그렇다면 v 가 θ 만큼 회전한 벡터 v' 는   v' = 1 · i'-hat + 1 · j'-hat  이다.

 

i'-hat 과 j'-hat 치환하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

v' = 1 · ( cos θ , sin θ ) + 1 · ( -sin θ , cos θ )

v' = ( cos θ - sin θ, sin θ + cos θ )

 

 

동일한 원리로 임의의 벡터 v = ( x, y) 에 대하여 θ 만큼 회전한 벡터 v' = ( x', y' ) 를 구할 수 있다.

 v = ( x, y ) = x · i-hat + y · j-hat = x · ( 1, 0 ) + y · ( 0, 1 )

v' = ( x', y' ) = x · ( cos θ, sin θ ) + y · ( -sin θ, cos θ ) = ( x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ )

 

따라서 임의의 벡터 ( x, y) 각 θ 만큼 회전한 결과 ( x', y')는 다음과 같다.

x' = x cos θ - y sin θ

y' = x sin θ + y cos θ

 

 

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삼각함수의 역함수

삼각함수를 사용해 주어진 각에 대응하는 벡터의 좌표를 얻을 수도 있지만 반대로 주어진 벡터의 좌표로부터 이에

대응하는 각도를 얻어내는 작업도 필요하다.

 

tan 함수의 역함수인 arctan(아크탄젠트) 함수는 벡터의 각도를 구하는 데 유용하게 사용된다.

하지만 arctan 함수의 치역을 ( -90º, 90º ) 구간 이므로 얻을 수 있는 각의 범위의 한계가 있다.

 

따라서 'atan2' 라는 함수를 별도 제공하며 atan2 함수 사용 시 평면의 모든 사분면에 대응하는 각도를 얻을 수 있다.