선형변환과 행렬 (Linear Transformation & Matrix)

선형변환 (Linear Transformation)

'선형 변환(Linear Transformation)'이란 공간이 움직인 이후에도 선형성을 만족하는 변환을 뜻한다.

이를 이해하기 위해서는 선형성과 변환의 의미를 파악해야 한다.

 

변환의 의미

'변환'이란 입력과 출력을 갖는 함수와 같은 의미로 사용된다. 그렇다면 왜 함수가 아닌 '변환'이라고 하는가?

이유는 벡터의 입력과 출력으로 이어지는 일련의 절차가 벡터의 움직임을 나타내기 때문이다.

벡터의 변환 예시

 

선형성의 의미

'선형적'이라는 것은 아래 3가지 조건을 만족해야한다.

1. 원점 고정 : 변환 이후에도 원점 위치가 변하지 않아야 한다.

2. 평행 : 변환 이후에도 격자선(Grid)이 평행을 유지해야 한다.

3. 균등 간격 : 변환 이후에도 격자선 (Grid) 이 균등한 간격을 유지해야한다.

 

 

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행렬 (Matrix)

'행렬(Matrix)'은 선형변환을 설명하는 정보를 묶어 표현하는 방법이다.

 

행렬의 기본 연산

행렬의 기본 연산은 아래와 같이 4가지로 구성된다.

 

1) 행렬과 행렬의 덧셈

행렬과 행렬의 덧셈은 행렬의 크기가 같은 경우에만 성립되며, 다음과 같이 같은 위치의 원소끼리 더한다.

 

2) 행렬과 스칼라의 곱셈

행렬에 스칼라를 곱하는 연산은 다음과 같이 행렬을 구성하는 모든 원소에 스칼라를 곱한다.

 

3) 행렬의 전치 (Transpose of a matrix)

행렬의 전치연산은 첨자 T로 표시하는데 행과 열을 바꾸는 작업을 수행한다.

 

4) 행렬과 행렬의 곱셈 (행렬곱) - 중요!!!

행렬곱은 기하학적으로 한 변환을 적용한 후 다른 변환을 적용하는 것과 같다.

이렇게 새로 생겨난 선형 변환을 두 선형 변환의 합성(Composition) 이라 부른다.

행렬곱 예시

 

 

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선형변환과 행렬

선형변환의 시각화

 

\(\vec{v} = (-1, 2)\) 는 표준기저를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\vec{v} = -1\cdot\hat{i} +2\cdot\hat{j}\]

특정 선형변환을 적용한 이후  \(\vec{v} = (-1, 2)\)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[변환 후\vec{v} = -1\cdot변환후\hat{i} +2\cdot변환후\hat{j}\]

기저벡터(i=hat, j-hat)가 변환 후 어떤 위치에 있는지를 통해 변환 결과를 추론할 수 있다는 것이다. (중요!!!)

 

 

 

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선형 변환은 기저벡터의 좌표로 기술된다.
이 좌표들을 2차원은 2*2, 3차원은 3*3 사이즈의 틀로 묶어 표기하게 되고
그 틀을 '행렬(Matrix)'이라고 한다.