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선형변환 (Linear Transformation) '선형 변환(Linear Transformation)'이란 공간이 움직인 이후에도 선형성을 만족하는 변환을 뜻한다. 이를 이해하기 위해서는 선형성과 변환의 의미를 파악해야 한다. 변환의 의미 '변환'이란 입력과 출력을 갖는 함수와 같은 의미로 사용된다. 그렇다면 왜 함수가 아닌 '변환'이라고 하는가? 이유는 벡터의 입력과 출력으로 이어지는 일련의 절차가 벡터의 움직임을 나타내기 때문이다. 선형성의 의미 '선형적'이라는 것은 아래 3가지 조건을 만족해야한다. 1. 원점 고정 : 변환 이후에도 원점 위치가 변하지 않아야 한다. 2. 평행 : 변환 이후에도 격자선(Grid)이 평행을 유지해야 한다. 3. 균등 간격 : 변환 이후에도 격자선 (Grid) 이 균..

삼각비 '삼각비'란 직각삼각형을 구성하는 세 변에서 두 변을 뽑아 각각의 비례관계를 나타낸 것이다. 삼각비에는 여러 종류가 있지만 사인(Sine), 코사인(Cosine), 탄젠트(Tangent) 세가지가 대표적이다. 삼각비의 활용 삼각비를 활용하여 직각삼각형에서 하나의 θ(사잇각)과 하나의 변의 길이가 주어진 경우 나머지 변의 길이들을 구할 수 있다. 삼각함수 '삼각함수'란 직각 삼각형을 데카르트 좌표계 상에 배치하고 θ(사잇각)의 범위를 실수 전체로 확장한 대응 관계이다. 삼각함수의 기본 연산 θ(사잇각)이 주어지고 빗변 c의 길이가 '1'로 주어진 경우 점 A의 좌표를 구하는 예를 보면 아래와 같다. 이때 밑변 a의 x좌표는 cosθ가 되고 높이 b의 y좌표는 sinθ가 된다. 이를 피타고라스 정리 ..

기저 벡터란 그 벡터 공간을 '생성(Span)'하는 '선형 독립'인 벡터의 집합이다. 위 설명을 이해하는 것이 이번 글의 핵심이다. 선형 결합 '선형 결합(Linear Combination)'이란 주어진 벡터를 스케일하고 더하여 새로운 벡터를 얻는 모든 과정을 뜻한다. 생성 (Span) '생성(Span)'이란 주어진 벡터의 선형 결합으로 얻을 수 있는 모든 벡터의 집합이다. 대부분의 2차원 기저 벡터의 생성(Span)은 무한한 2차원 평면 전체이다. (3차원의 경우 무한한 3차원 공간 전체) 하지만 다음과 같은 경우 예외가 존재한다. 벡터 공간의 성질 벡터간의 선형적 관계는 벡터 공간을 다룰 때 중요하게 사용된다. '선형 독립' 관계를 가지는 벡터를 선형 겹합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수..

벡터(Vector)는 크기와 방향을 갖는 개념이다. 기본적으로 순서 쌍으로 표현하며 이를 '좌표'라 부른다. 스칼라(Scalar)는 방향을 갖지 않고 크기만 갖는 개념이다. 벡터의 기본 연산 벡터는 두 가지 기본 연산이 존재한다. 벡터의 크기 벡터의 크기는 원점으로부터의 거리를 의미한다. 원점과 벡터를 연결해 직각삼각형을 그린 후 피타고라스 정리를 사용해 거리를 측정할 수 있다. 단위 벡터(Unit Vector)와 정규화(Normalize) 크기가 1인 벡터를 단위 벡터(Unit Vector)라고 한다. 단위 벡터에는 모자 기호(Hat)를 씌워 표시한다. 벡터의 기본 연산인 스칼라 곱의 성질을 이용해 임의의 벡터를 단위 벡터로 다듬는 과정이 정규화(Normalize)이다.